. Penyelesaian Persamaan Suku Banyak

F. Penyelesaian Persamaan Suku Banyak

Mencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan menentukan

akar-akar persamaan yang memenuhi f(x) = 0. Kita dapat menyelesaikan persamaan

suku banyak dengan menentukan faktor linear.

Jika f(x) suatu banyak, maka (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar persamaan f(x) = 0

 

Untuk lebih memahami tentang persamaan suku banyak dan penyelesaiannya, pelajarilah

contoh soal berikut.

Contoh soal

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dan faktor linear dari f(x) = x3 – 2x2 – x + 2.

Penyelesaian

f(x) = x³ – 2x² – x + 2

f(x) dibagi (x – 1)

Karena f(1) = 0, maka (x – 1) merupakan penyelesaian dari x³ – 2x² – x + 2.

Sedangkan, penyelesaian yang lain x² – x – 2.

x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1) (x² – x – 2)

= (x – 1) (x + 1) (x – 2)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1, 1, 2}.

2. Jika 1/2 merupakan akar-akar persamaan 2x3 + x2 – 13x + a = 0, tentukanlah a dan akar-akar yang lain.

Penyelesaian

 

2x3 + x2 – 13x + 6 = 0

(2x – 1) (x – 2) (2x – 6) = 0

(2x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0

Jadi, akar-akar yang lain adalah x = 2 dan x = 3.

 

1. Menentukan Akar Rasional

Jika diketahui suatu suku banyak f(x) dan (x – a) adalah faktor dari f(x), maka a

adalah akar dari persamaan f(x) atau f(a) = 0.

2. Sifat-Sifat Akar Persamaan Suku Banyak

a. Untuk Suku Banyak Berderajat Dua: ax2 + bx + c = 0

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:

Contoh soal

1. Jika salah satu akar dari suku banyak x³ + 4x² + x – 6 = 0 adalah x = 1, tentukanlah akar-akar yang lain.

Penyelesaian

karena f(1) = 0, maka x = 1 adalah akar persamaan f(x) = 0

x3 + 4x2 + x – 6 = 0

(x – 1)(x2 + 5x + 6) = 0

(x – 1)(x + 2) (x + 3) = 0

Jadi, akar yang lain adalah x = –2 dan x = –3.

2. Diketahui x1, x2, dan x3 adalah akar-akar persamaan 2x3 – bx2 – 18x + 36 = 0.

Tentukan:

a. x1 + x2 + x3

b. x1 x2 + x1 x3 + x2 x3

c. x1 x2 x3

d. nilai b, jika x2 adalah lawan dari x1

e. nilai masing-masing x1, x2, dan x3 untuk b tersebut

 

Penyelesaian

a. 2x3 – bx2 – 18x + 36 = 0

 

pembagian dan teorema horner

 

Agar kita memahami pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh soal Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian jika: 1. 3x4 + 4x3 – 5x2 – 2x + 5 dibagi (x2 + 2x + 3) 2. 2x3 + x2 + 5x – 1 dibagi (x2 – 1) Penyelesaian 1. 3x4+ 4x3– 5x2 – 2x + 5 dibagi (x2 + 2x + 3) Karena x2 + 2x + 3 tidak dapat difaktorkan, maka dilakukan pembagian biasa (cara susun). Jadi, 3x2 – 2x – 10 merupakan hasil bagi dan 24x + 35 merupakan sisa pembagian. 2. 2x3 + x2 + 5x – 1 dibagi (x2 – 1) Karena (x2 – 1) dapat difaktorkan menjadi (x + 1)(x – 1), maka pembagian tersebut dapat dilakukan dengan 2 cara. a.     Cara susun   Jadi, (2x + 1) merupakan hasil bagi dan 7x merupakan sisa pembagian.     D.  Teorema Sisa       Teorema Sisa 1: Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah f(k). Untuk lebih memahami mengenai penerapan teorema tersebut, perhatikanlah contoh berikut ini. Contoh soal Tentukanlah sisa pembagian dari f(x) = x3+ 4x2+ 6x + 5 dibagi (x + 2). Penyelesaian Cara 1: Cara biasa f(x) = x3 + 4x2 + 6x + 5 f(–2) = (–2)3 + 4 .(–2)2 + 6 .(–2) + 5 = –8 + 4 .4 – 12 + 5 = –8 + 16 – 12 + 5 = 1 Jadi, sisa pembagiannya 1. Cara 2: Sintetik (Horner) Jadi, sisa pembagiannya 1.   Teorema Sisa 2 :  Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah   f(b/a)   Untuk lebih memahami mengenai penerapan teorema tersebut, perhatikanlah contoh berikut ini. Contoh soal Tentukan sisa pembagian dari f(x) = 5x3 + 21x2 + 9x – 1 dibagi (5x + 1). Penyelesaian   Teorema Sisa 3: Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah   px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.   Untuk lebih memahami mengenai penerapan teorema tersebut, perhatikanlah contoh soal berikut ini. Contoh soal Jika f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 1 dibagi x2 + x – 2, tentukanlah sisa pembagiannya. Penyelesaian Pada f(x) = x3 – 2x2 + 3x – 1 dibagi x2 + x – 2, bentuk x2 + x – 2 dapat difaktorkan menjadi (x + 2)(x – 1). Berdasarkan teorema sisa 3, maka dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut. (x + 2)(x – 1) Û(x – (–2))(x – 1) maka nilai a = –2 dan b = 1. f (a) = pa + q f (–2)= –2p + q (–2)3 – 2 (–2)2 + 3 (–2) – 1 = –2p + q –8 – 8 – 6 – 1 = –2p + q –23 = –2p + q ……… (1) f (b) = pb + q f (1) = p + q 13 – 2 . 12 + 3 . 1 – 1 = p + q 1 – 2 + 3 – 1 = p + q 1 = p + q ……… (2) Nilai p dapat dicari dengan mengeliminasi q dari persamaan (1) dan (2). Nilai p disubtitusikan ke persamaan (2). p + q = 1 8 + q = 1 q = –7 Jadi, sisa pembagiannya = px + q = 8x – 7   E.     Teorema Faktor Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor linear dari suku banyak. Perhatikan teorema faktor berikut ini. Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0. Untuk lebih memahami penggunaan teorema faktor, pelajarilah contoh soal berikut ini. Contoh soal Tentukanlah faktor-faktor dari: 1. x3 – 2x2 – x + 2 2. 2x3 + 7x2 + 2x – 3 Penyelesaian 1. Jika (x – k) merupakan faktor suku banyak x3 – 2x2 – x + 2, maka k merupakan pembagi dari 2, yaitu ± 1 dan ± 2. Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut. Misalkan, dicoba cara Horner dengan pembagi (x – 1). x2 – 2x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2) = (x – 1)(x – 2) (x + 1) Jadi,faktor-faktornya adalah (x – 1)(x – 2)(x + 1). 2.  Jika (x – k) merupakan faktor suku banyak 2x3 + 7x2 + 2x – 3, maka k merupakan pembagi dari 3, yaitu ± 1 dan ± 3. Kemudian, dicoba Misalkan, dicoba cara Horner dengan pembagi (x + 1). 2x3 + 7x2 + 2x – 3 = (x + 1)(2x2 + 5x – 3) = (x + 1)(x + 3)(2x – 1) Jadi, faktor-faktornya adalah (x + 1)(x + 3)(2x – 1).